Аннотация

Показано, что задача Коши для волнового уравнения не имеет единственного решения. Как следствие, в общем случае калибровочная (градиентная) инвариантность в электродинамике не имеет места. Высказывается мысль, что аналогичные нарушения единственности решения могут иметь место не только для уравнений гиперболического и параболического типа, но и для эллиптического типа.

Ключевые слова

Волновое уравнение, единственность решения, калибровки потенциалов, уравнения в частных производных, нарушение единственности решения.

Введение

Единственность решения это один из принципиальных вопросов, на которых базируется как математика, так и физика. В любом учебнике доказательству существования и единственности решения уделяется особое внимание. Теорема о существовании и единственности доказывается и для волнового уравнения. В частности, если мы имеем неоднородное волновое уравнение [1]

(1)

для неограниченного пространства при заданных начальных условиях:

u(x;0) = φ(x) и (2),

то решение единственно и имеет вид:

(3)

Теорема

Докажем теперь теорему о накушении единственности задачи Коши для волнового уравнения.

Доказательство

Доказательство теоремы содержит две части. В первой части показан метод построения второго решения. Во второй части приведен пример, подтверждающий как метод, так и нарушение единственности решения.

Метод построения второго решения

Легко видеть, что, еслиj= 0,y= 0 и f = 0, мы имеем тривиальное решение: u = 0. Покажем теперь, что при этих условиях может существовать нетривиальное решение, т.е. имеет место нарушение единственности решения. Отсутствие в рассматриваемом случае граничных условий не нарушает общности рассуждений и сохраняет метод построения второго решения для задач с граничными условиями.

Представим решение однородного волнового уравнения

(4)

при нулевых начальных условиях: u(x;0)=0 и

в виде суммы u = v + s, (5)

где s - функция, которую мы выбираем, исходя из определенных соображений, а v - функция, которую нам предстоит найти, зная функцию s.

Подставим (5) в уравнение (4) и перенесем все члены, зависящие от v в левую часть.

(6)

Определим начальные условия для функции v:

v(x;0) = -s(x;0) и(7)

Решение уравнения (7) имеет вид [1]:(8)

где(9)

Нам нужно показать, что путем соответствующего подбора функции s, функция u = v + s будет отлична от нуля, т.е. мы будем иметь нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями задачи Коши.

(10)

Теперь остается обосновать выбор функции s, поскольку не любая функция может дать нетривиальное второе решение. Это большая самостоятельная задача. Руководствуясь результатами, изложенными в Приложении 1, можно утверждать, что второе решение будет тривиальным, если функция s удовлетворяет однородному волновому уравнению или же является частным решением неоднородного волнового уравнения (1). Следовательно, если мы хотим получить нетривиальное второе решение, функция s не должна удовлетворять этому условию.

Покажем теперь на примере, что нетривиальное решение имеет место.

Легко видеть, что, еслиj= 0,y= 0 и f = 0, мы имеем тривиальное решение: u = 0. Покажем теперь, что при этих условиях может существовать нетривиальное решение, т.е. имеет место нарушение единственности решения. Отсутствие в рассматриваемом случае граничных условий не нарушает общности рассуждений и сохраняет метод построения второго решения для задач с граничными условиями.

Представим решение однородного волнового уравнения

(4)

при нулевых начальных условиях: u(x;0)=0 и

в виде суммы u = v + s, (5)

где s - функция, которую мы выбираем, исходя из определенных соображений, а v - функция, которую нам предстоит найти, зная функцию s.

Подставим (5) в уравнение (4) и перенесем все члены, зависящие от v в левую часть.

(6)

Определим начальные условия для функции v:

v(x;0) = -s(x;0) и(7)

Решение уравнения (7) имеет вид [1]:(8)

где(9)

Нам нужно показать, что путем соответствующего подбора функции s, функция u = v + s будет отлична от нуля, т.е. мы будем иметь нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями задачи Коши.

(10)

Теперь остается обосновать выбор функции s, поскольку не любая функция может дать нетривиальное второе решение. Это большая самостоятельная задача. Руководствуясь результатами, изложенными в Приложении 1, можно утверждать, что второе решение будет тривиальным, если функция s удовлетворяет однородному волновому уравнению или же является частным решением неоднородного волнового уравнения (1). Следовательно, если мы хотим получить нетривиальное второе решение, функция s не должна удовлетворять этому условию.

Покажем теперь на примере, что нетривиальное решение имеет место.

Пример

Пусть, например, функция s определяется выражением:

(11)

Как нетрудно заметить, начальные условия нулевые:

v(x;0) = -s(x;0) = 0 и(12)

Чтобы показать, что второе решение не является тривиальным, достаточно показать, что оно отличается от нуля хотя бы в одной точке xo в момент времени to . Из-за громоздкости выражения мы не будем приводить все решение, а запишем его для интервала времени

при t>>2p. (13)

Для определенности будем считать, что 2а< 1.

Учитывая начальные условия (12) и принимая во внимание (11), запишем решение для интервала (13):

(14)

где(15)

После взятия внутреннего интеграла решение на интервале времени (13) имеет вид:

(16)

Этот интеграл не равен тождественно нулю.

Итак, второе решение существует (14) и оно отлично от нуля по крайней мере для t >2pв указанном интервале пространства-времени. Тем самым доказано, что задача Коши для волнового уравнения не имеет единственного решения.

Применение результатов

В физике широко используются процедуры, называемые "калибровками уравнений". Например, в уравнениях Максвелла поля Е и Н могут быть записаны с помощью потенциалов в виде калибровки Лоренца или же в кулоновской калибровке. При этом формы уравнений, описывающих потенциалы, оказываются различными. Доказательство нарушения единственности решения дает повод для изучения процедуры калибровки.

Пусть мы имеем неоднородное волновое уравнение

(17)

соответствующими начальными условиями: u=f(x) и u/t =y(x) при t=0.

Представим, как и раньше, решение этого уравнения в форме (2): u=v+f

Оставим в левой части волнового уравнения только члены, зависящие от v. Как и в предыдущем случае, мы могли бы задать явный вид функции f (как говорят: "взяв ее с потолка") и получить новое решение неоднородного волнового уравнения. Но можно поступить иначе. Мы можем наложить на f некоторое условие. Например, мы можем потребовать, чтобы функция f удовлетворяла уравнению Пуассона (чтобы f была бы решением уравнения Пуассона (18)):

(18)

Уравнение для v в этом случае примет вид:

(19)

Если решение уравнения (16) существует (функция F интегрируема), то уравнение для функции v определено и, соответственно, определены начальные условия задачи Коши: ν(x;0) = φ(x)-f(x;0) и

Если решение для v существует, мы имеем новое решение u=v+f для волнового уравнения. Отличие нового решения от стандартного (3) состоит в том, что во втором решении присутствуют не только запаздывающие, но и мгновенно действующие потенциалы.

Такой метод построения второго решения теперь уже определяется не через выбор произвольной функции, а через процедуру калибровки потенциала (u = v + f) волнового уравнения. Иными словами, мы ищем решение (потенциал u) как сумму выражений, имеющих различную функциональную зависимость от координат и времени (запаздывающие потенциалы, мгновенно действующие потенциалы, потенциалы, удовлетворяющие уравнению теплопроводности и т.д.).

Следствия, вытекающие из отсутствия единственности решения весьма существенны не только для электродинамики, для квантовых теорий и т.д., но и для всей физики. Из нарушения единственности решения следует в общем случае, что в электродинамике калибровочная (градиентная) инвариантность не имеет места. Например, калибровка Лоренца уравнений Максвелла дает решения, отличающиеся от решений в кулоновской калибровке [2], [3]. Однако существует важный частный случай (при наложении специального условия на токи и заряды в уравнениях Максвелла), когда эти калибровки можно рассматривать как эквивалентные. Он рассмотрен в работе [4].

Остается добавить, что для уравнений параболического типа (уравнение теплопроводности, уравнение Шредингера и др.) можно доказать аналогичную теорему. Мы полагаем, что и для уравнений эллиптического типа (задачи Дирихле, Неймана и др.) также имеет место нарушение единственности решения.

Приложение 1

Рассмотрим однородное волновое уравнение без граничных условий с нулевыми начальными условиями.

(П.1)

для неограниченного пространства при заданных начальных условиях:

U(x;0)=0 и(П.2),

Стандартное решение этого уравнения - тривиальное U = 0.

Будем искать новое решение в виде суммы U₂= u + V. (П.3)

Пусть функция V является решением волнового уравнения

(П.4)

при следующих начальных условиях

V(x;0) = - φ(x) и. (П.5)

Функция f, а также начальные условия (П.5) нам известны или же мы их задаем сами.

Теперь, используя (П.1), (П.3) и (П.4) мы можем записать уравнение для U

(П.6)

Начальные условия для u , исходя из (П.5) и (П.2), имеют вид:

u(x;0) = - φ(x) и. (П.7)

Сравнивая правые части уравнений (П.4) и (П.6), а также начальные условия (П.5) и (П.7) можно заметить, что они одинаковы с точностью до знака. Следовательно, функции V и u будут также одинаковы, но они будут иметь противоположные знаки, т.е. мы имеем тривиальное решение U₂= u + V = 0.

Итак, если функция V есть решение однородного (или неоднородного) волнового уравнения, то второе решение будет тривиальным U₂= 0.

Источники информации

1.Тихонов А.А. и Самарский Н.Н. Уравнения математической физики. - М.: ГИФМЛ, 1954.
2.Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. Калибровки и поля в электродинамике. / Воронеж. Ун-т. - Воронеж, 1998. Деп. в ВИНИТИ 17.02.98, № 467 - В98.
3.Kuligin V.A., Kuligina G.A., Korneva M.V. Analysis of the Lorentz's gauge. Canada, Montreal, 2000. - Apeiron, vol. 7, no 1...2.
4.Кулигин В.А., Кулигина Г.А. Корнева М.В. Однопроводные линии. / Воронеж. Ун-т. - Воронеж, 2002. Деп. в ВИНИТИ 10.06.2002, №1062 - В 2002.

Автор: Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. город Воронеж