Обобщенное уравнение гравитационного взаимодействия

В работе [20] было предложено для описания силы гравитационного взаимодействия между телами 1 и 2 в гравитационном поле n тел использовать следующее уравнение (обобщенное уравнение гравитационного взаимодействия):

(8)

где является векторной величиной.

В случае системы из двух тел уравнение (8) сводится к уравнению Ньютона (7). Для системы из трех тел мы получаем уравнение (см. рис. 2):

F₁₂= Gm₂r₁₂[M₁/r₁₂³+(M₃/r₁₃³)cosα], (9)

где: α - угол между радиус-вектором тела 1 относительно тела 2 и радиус-вектором тела 1 относительно тела 3.



Рисунок 2. Схема для описания взаимодействия в системе из трех тел.

Для описания гравитационного взаимодействия в системе из трех тел необходимо определиться с направлением вектора силы тяготения. Речь идет о том, что для тела 1 мы можем вычислить как силу F₁₂, так и силу F₁₃. Вопрос в том, куда будет направлен результирующий вектор. Ответ состоит в том, что [20] направление силы тяготения определяется соотношением величин M_i/r_1i³. Вектор силы тяготения направлен в сторону тела, для которого последняя величина больше. Таким образом, уравнение (9) можно использовать в том случае, если

(M₂/r₁₂³) >(M₃/r₁₃³). (10)

В противном случае тело 1 будет притягиваться к телу 3 и необходимо вычислять силу F₁₃по аналогичному уравнению.

Использование соотношения (10) свидетельствует о том, что в системе Солнце-Земля-Луна сила тяготения должна быть направлена от Луны в сторону Земли. В случае Юпитера граница между сферой тяготения Солнца и сферой тяготения Юпитера, вычисленными по уравнению Ньютона проходит на расстоянии 2,33•10¹⁰м от Юпитера, так что большинство спутников Юпитера оказывается внутри классической сферы тяготения. Однако, внешние спутники Юпитера - Ананке (средний радиус орбиты 2,12•10¹⁰м), Карме (2,26•10¹⁰), Пасифе (2,35•10¹⁰) и Синопе (2,37•10¹⁰) - находятся на границе этих сфер, а в апогее даже Ананке (r = 2,52•10¹⁰м) выходит за границу сферы тяготения Юпитера, определяемую уравнением Ньютона.

Используемые в данной работе уравнения (8) и (9) и соотношение (10) являются новыми и не использовались ранее для описания гравитационного взаимодействия в системах из трех и более тел (см., например, [15, 19, 21]). В работе [20] была показана на качественном уровне применимость уравнения (9) для описания движения Луны в системе Солнце-Земля-Луна. В данной работе мы проанализируем результаты расчетов орбиты Пасифе для системы трех тел Солнце-Юпитер-Пасифе с использованием уравнения Ньютона (7) и уравнения (9).

Расчеты параметров орбиты Пасифе для системы из трех тел

Оценку влияния Солнца начнем с применения закона Ньютона. Вначале уточним положение спутника относительно Юпитера. Будем считать, что Юпитер находится в перигее, спутник так же находится в перигее, а долгота его перигея равна нулю относительно радиус-вектора Юпитера («новолуние»). Угол наклона орбиты и её эксцентриситет примем равным нулю. При этом напряженность гравитационного поля Юпитера будет равна 2,299•10^-4м/с², а напряженность гравитационного поля Солнца 2,579•10^-4м/с². Поэтому вектор радиального ускорения будет направлен в сторону Солнца. За 735 сут. тело совершит оборот на 253°. При это его радиус увеличится до 3,1•10¹¹м, а линейная скорость уменьшится до 177 м/с. Если мы изменим начальное положение спутника, переместив его на 180°, чтобы напряженности гравитационного поля Юпитера и Солнца складывались, то получим аналогичный результат: угол поворота 244° и радиус 4,8•10¹¹м. Таким образом, мы в очередной раз показали неприменимость закона Ньютона для системы из трех тел.

Перейдем теперь к апробации уравнения (9). Влияние силы тяготения Солнца приводит к искажению орбиты. Если мы «запустим» тело вокруг Юпитера по круговой орбите в плоскости эклиптики, то через интервал времени, равный периоду кругового обращения, орбита окажется эллиптической, причем эллипс будет искаженным. Причиной является то, что в каждый момент времени влияние Солнца определяется не только расстоянием между ним и телом, но и углом между радиус-векторами. Таким образом, степень искажения орбиты будет зависеть от начального положения тела относительно радиус-вектора Юпитера. На рис. 3 отображены значения эксцентриситета, который приобретает первоначально круговая орбита за один оборот (длина радиус-вектора тела - 2,354•10¹⁰м, период обращения 735 сут). Как мы видим, влияние оказывается вполне существенным, так что орбита Пасифе, так же как орбита Луны, и орбита любого тела в аналогичных условиях должна быть оскулирующей. С позиций общей оценки устойчивости орбиты важно начальное значение полной механической энергии, которое, при прочих равных условиях, зависит и от эксцентриситета орбиты. В этом плане диапазон, в котором будет изменяться эксцентриситет, зависит от его начальной величины.



Рисунок 3. Влияние начального положения тела относительно радиус-вектора Юпитера на эксцентриситет плоской орбиты.

Характер взаимодействия спутника с Солнцем должен существенным образом зависеть от угла наклона орбиты спутника относительно плоскости орбиты Юпитера. На рис. 4 представлена зависимость эксцентриситета от угла наклона (начальные параметры орбиты те же, что и в предыдущем случае, начальный угол спутника равен нулю). Функция имеет период 180°. Это связано с тем, что если угол наклона менее 90°, то двигаясь из «новолуния» спутник удаляется от Солнца (у Пасифе обратное движение), а если угол наклона больше 90° - приближается. Таким образом, характер движения оказывается различным. Искажение круговой орбиты при начальном угле 90°, связано со смещением линии узлов.



Рисунок 4. Влияние наклона плоскости наклона орбиты спутника к плоскости орбиты Юпитера на ее эксцентриситет.

В уравнении (9) мы учли нормальную составляющую солнечного притяжения (g_SN=(Gr_JPM_S/r_SP³)cosα). А тангенциальная составляющая (g_ST=(Gr_JPm_PM_S/r_SP³)sinα) оказалась «забыта». Тангенциальная составляющая должна действовать непосредственно на вектор линейной скорости, вызывая его смещение и, тем самым, смещение плоскости орбиты спутника.



Рисунок 5. Влияние тангенциальной составляющей ускорения силы тяжести Солнца на вектор линейной скорости спутника.

На рис. 5 буквой J обозначен Юпитер, буквой P - текущее положение Пасифе. PP’ текущее положение вектора линейной скорости Пасифе, так что через определенный интервал времени, в отсутствие солнечного притяжения, Пасифе должна была бы перейти в точку P’. Однако, под действием тангенциальной составляющей ускорения силы тяжести Солнца g_STвектор линейной скорости смещается и Пасифе приходит в точку P”. Таким образом, движение спутника происходит не в одной плоскости, а во множестве плоскостей, имеющих один и тот же угол наклона, но различную ориентацию в пространстве. Иными словами влияние тангенциальной составляющей солнечного притяжения ведет к вращению линии узлов. Сдвиг линии узлов можно приближенно описать уравнением:

∆γ = g_ST•∆t²/v•∆t. (11)

Обратимся теперь к наклонной орбите и проведем тот же вычислительный эксперимент, приняв угол наклона орбиты равным 140°. Результаты расчетов представлены на рис. 6 и 7. Период обращения достаточно быстро возрастает от начального значения 735 до 787 сут. затем изменяется в относительно узких пределах от 770 до 802 сут. при среднем значении 776 сут. Приблизительно то же среднее значение имеет период между нисходящими узлами орбиты, но разброс величин значительно выше - от 573 до 996 сут. Еще более значительные колебания имеет период времени между перигеями орбиты - от 494 до 1139 сут. со средним значением 813 сут.



Рисунок 6. Зависимость периода обращения (T), периода между перигеями (dt(Pr)) и периода меж-ду нисходящими узлами (dt(NU)) от времени.



Рисунок 7. Зависимость среднего значения радиуса и эксцентриситета орбиты за один оборот от времени обращения.

Среднее значение радиуса за один оборот оказалось равным 2,44•10¹⁰м и колеблется в пределах от 2,33 до 2,52•10¹⁰м, тогда как эксцентриситет изменяется в пределах от 0,005 до 0,22 при среднем значении 0,13.

Варьируя начальные параметры орбиты спутника можно выйти на их различные средние значения. Так, если «запустить» спутник из перигея со следующими параметрами:

- полуось - 2,335•10¹⁰м,
- период обращения - 735 сут.,
- эксцентриситет - 0,02,
- наклон орбиты - 140 град.,
- долгота перигея относительно радиус-вектора Юпитера - 0 град.,
- долгота нисходящего узла относительно радиус-вектора Юпитера - 0 град.,
то за 37900 земных суток он будет иметь следующие средние значения для орбиты:

- средний радиус - 2,365•10¹⁰м,
- период обращения - 734,76 сут.,
- эксцентриситет
- 0,107 (максимальный - 0,202),
- период обращения линии узлов - 32900 сут.

Они существенно отличаются от известных астрометрических данных по значению эксцентриситета. Вероятно, используя другой набор начальных параметров можно выйти на иной набор средних значений орбиты. Этой взаимосвязи будет посвящена следующая статья.

Выводы

Использование обобщенного уравнения гравитационного взаимодействия (9) позволяет:

1. Объяснить характер взаимодействия в системе трех тел Солнце-Юпитер-Пасифе.

2. Построить динамическую модель, включающую обращение Юпитера вокруг Солнца и Пасифе вокруг Юпитера.

3. Объяснить оскулирование орбит внешних спутников Юпитра.

4. Объяснить смещение перигея и вращение линии узлов спутников за счет влияния Солнца.

Литература

1. Островский Н.В. Модель орбитального движения небесных тел.//Естественные и технические науки, 2003 г., № 2, с. 22-25.
2. Физический энциклопедический словарь. М.: “Советская энциклопедия”, 1983 г., 928 с.
3. Куликов К.А., Сидоренков Н.С. Планета Земля. М.: «Наука», 1972 г., с. 5-18.
4. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М.: «Наука», 1977 г., 432 с.
5. Жирнов Н.И. Классическая механика. М.: «Просвещение», 1980 г., 303 с.
6. Драчев М.М., Демин В.Г., Климишин И.А., Чурагин В.М. Астрономия. М.: «Просвещение», 1983 г., 384 с.
7. Бялко А.В. Наша планета - Земля. М.: «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1983 г., 208 с.
8. Климишин И.А. Астрономия наших дней. М.: «Наука», 1986 г., 560 с.
9. Астрономия и небесная механика. Сборник под ред. А.А. Ефимова, М.-Л.: изд. АН СССР, 594 с.
10. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: «Наука», 1977 г., 360 с.
11. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: «Наука», 1975 г., 308 с.
12. Брюно А.Д. Ограниченная задача трёх тел. Плоские периодические орбиты. М.: «Наука», 1990 г., 295 с.
13. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Методы теории движения искусственных небесных тел. Учебное пособие для студентов Университетов. М.: «Наука», 1983 г., 352 с.
14. Аким Э.Л., Бажинов И..К., Павлов И.П., Почукаев В.П. Поле тяготения Луны и движение искусственных спутников. Под ред. В.С. Авдуевского. М.: «Машиностроение», 1984 г., 288 с.
15. Себехей В. Теория орбит ограниченной задачи трех тел. Пер. с английского под ред. Г.Н. Дубошина. М.: «Наука», 1982 г., 655 с.
16. Chapront J. Representation of planetary ephemerides by frequency analysis. Application to the five ounter planets./Astronomy and Astrophysics Supplement Series, 1995, January, vol. 109, p. 181-192.
17. Аллен К.У. Астро-физические величины. Пер. с англ. под ред. Д.Я. Мартынова. М.: «Мир», 1977 г.
18. Николай Островский об обращении Земли и Луны вокруг общего центра инерции. Интернет-журнал Membrana, 19 декабря 2002 г., URL: www.membrana.ru/articles/readers/2002/12/19/182600.html
19. Холшевников К.В. Луна - спутник или планета? 10 марта 2003 г. URL: http://www.astronet.ru/db/msg/1171221
20. Островский Н.В.Решение задачи трех тел на примере системы Солнце-Земля-Луна.//Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции «Наука - производство - технологии - экология». Киров: Вятский государственный университет, 2003 г., т. 4, с. 74-75.
21. Хильми Г.Ф. Качественные методы в проблеме n тел. М.: издательство АН СССР, 1958 г., 123 с.
22. Дагаев М.М., Дёмин В.Г., Климишин И.А., Чарушин В.М. Астрономия. М.: «Просвещение», 1983 г.
23. Новосибирская открытая образовательная сеть. URL: http://www.edu.nsu.ru/noos/metod/astronom/System/Sol_Sistema2/Jupiter.htm
24. Сhapront J., Francou G. Ephemerides of planets between 1900 and 2100 (1998 update). Bureau des Longitudes, Group: Dynamics of Solar System (1996). URL: ftp://cdsarc.u-strasbg.fr/pub/cats/VI/87/
25. Serveur d´éphémérides de l´Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides. URL: http://www.bdl.fr/ephemeride.html

Автор: Островский Николай Владимирович, к.т.н., преподаватель Вятского государственного университета, г. Киров.

URL: http://onv1.inauka.ru

E-mail: onv1@yandex.ru