Законы гравитации - поиски физического смысла

(Аннотация) В формулах математики и законов физики встречается величина r - радиус. Смысловая нагрузка или физический смысл этой величины может быть очень разный в разных формулах.

В представленной статье решена задача нахождения "физического свойства" величины r - радиуса, который упоминается в законе всемирного тяготения Ньютона. Это привело к упрощению формулы закона всемирного тяготения. Логические преобразования исходной формулы привели к тому, что закон всемирного тяготения преобразовался в закон гравитационного воздействия. Получена новая формула третьего закона Кеплера - без сравнения параметров разных вращающихся объектов одной группы.

Ключевые слова: закон всемирного тяготения Ньютона, напряженность гравитационного поля, третий закон Кеплера - новая формула без сравнения параметров разных вращающихся объектов одной группы.

Такой коварный «радиус»

Наверняка многие помнят мультик, в котором забавные слоненок и обезьянка измеряли длину удава в «попугаях». Им это удалось - его длина оказалась 38 попугаев и одно попугайское крылышко. Человечество продвинулось в решении подобных задач далеко вперед и вправе собой гордиться - оно умеет измерять длину не в «попугаях», а независимой единицей измерения - метром. Однако, не смотря на великие достижения в деле изучения и измерения окружающего мира, современная наука еще до сих пор имеет и сохраняет своего «попугая» в арсенале мер - это очень распространенная единица измерения - r «радиус».

Известно, что «радиус» - это отрезок, соединяющий точку на окружности с ее центром (школьный курс математики). Однако, обозначение r - «радиус» -  довольно часто встречается в формулах математики и физики, причем, при определении диаметрально противоположных параметров, отличных от первоначального значения. Поэтому, когда в формуле встречается термин «радиус» - это вовсе не значит, что речь идет о параметре, который представляет собой отрезок, соединяющий точку на окружности или сфере с ее центром. Тем более, когда в формуле присутствует «квадрат радиуса» - это уж точно не означает, что в формуле идет речь только о расстоянии до центра от точки окружности. Все это происходит потому, что величина радиуса r служит своего рода мерилом - «попугаем», которым измеряют не радиус, а другие величины, связанные с понятием окружности, круга, шара, сферы.

Например:

в формуле определения длины окружности L: L = 2 r - в этой формуле r  - это не радиус окружности, а мерило, посредством которого в данном случае измеряется длина окружности. Величина r в этой формуле определяет размер элемента окружности (части ее длины), который в любой своей точке будет перпендикулярен(!) радиусу r этой же окружности.

Т.е. длина окружности L и радиус r этой же окружности - две разные величины, которые определяют взаимно перпендикулярные параметры окружности - r и L. Но это никак не отражается на начертании буквы r, хотя логичнее было бы добавить индекс и писать - r_x - радиус и r_y - мерило для длины окружности L.

более коварный вариант - это формула определения площади круга:

S = 2 r² - здесь выражение r² вообще неправильное.

Потому что здесь происходит не возведение во вторую степень величины радиуса r, а перемножение двух ортогональных величин - r_x и r_y - т.е. половины длины окружности 1/2 L = r_y и непосредственно радиуса r_x. В этом случае, правильнее было бы писать эту формулу в виде S = r_x r_y. Из-за непонимания этого «тонкого» нюанса в отличии двух перемножаемых r в последней формуле очень многие очень умные ученые допускают досадные оплошности. Например, при интегрировании или дифференцировании забывают, что эти операции обычно проводятся либо по «иксу» - r_x либо по «игреку» - r_y, но ни в коем случае, не смешивая эти ортогональные величины, даже если их начертание в формуле совпадает.

следующая коварная формула - это площадь поверхности шара или сферы.

S = 4 r² (1)

В этой формуле вообще не идет речь об удаленности точки поверхности сферы от ее центра. Очевидно, что здесь снова надо представить величину r² как произведение двух отдельных параметров. Двух отдельных ортогональных(!) параметров. И это будут элементы величин двух взаимно перпендикулярных окружностей -

r_y аналога экватора, и

r_z элемент окружности на поверхности сферы, которая перпендикулярна экватору, - аналога большой окружности меридиана.

Как видите, в формуле (1) об отрезке, соединяющем точку поверхности с ее центром, нет никакого упоминания, а радиус r является всего лишь мерилом, которым измеряют разнородные величины.

Это были примеры употребления термина «радиус» в качестве мерила каких-то параметров в математике. Но в математических формулах обычно известно, о какой представляемой величине идет речь в формуле - о площади круга или площади сферы и т.д. Поэтому в математике довольно просто такие «мерила» вычислить и уберечься от ошибок. В физике дело обстоит гораздо сложнее. Природа не спешит открывать перед человечеством свои тайны. Поэтому очень многие явления природы до сих пор не нашли должного объяснения.

Чаще всего человек просто описывает эти явления, изучая закономерности изменения каких-либо параметров, влияющих на эти явления. Т.е. описание закономерностей изменения параметров существует, а объяснения этим явлениям нет. Такие закономерности обычно называют громко - «законами» физики, но с такой скромненькой добавкой - «феноменологические». И вот, когда в таких феноменологических законах появляется r² или r³, почему-то все уверены, что здесь идет речь о простом возведении в степень обычного радиуса r в его первоначальном смысле. И никто не задумывается о том, что не бывает обычного возведения в степень! И даже когда стоит r² - это вовсе не значит, что речь будет идти о площади круга - а может это будет площадь сферы? Т.е. каждое упоминание величины радиуса r в физике - это очередная тайна или секрет, который ждет своей разгадки.


Физический смысл r² в формуле закона всемирного тяготения


Для примера рассмотрим весьма загадочный и очень давний закон всемирного тяготения, которому уже более трехсот лет. Ньютон в своем основополагающем труде «Математические начала натуральной философии» [1] представил зависимости между периодом Т, радиусом r и массой m для планет и спутников планет солнечной системы. Эти зависимости позже были оформлены как закон всемирного тяготения. Зависимости Ньютон выводил без учета физического смысла изучаемых параметров - «исследуя в этом сочинении не виды сил и физические свойства их, а лишь их величины и математические соотношения между ними» [1]. Основным методом нахождения величин в этом труде были пропорции. Поэтому поставленную перед собой задачу - исследование величин и соотношений между ними - Ньютон, безусловно, выполнил блестяще.

Закон всемирного тяготения феноменологический. Он показывает зависимости между отдельными параметрами, описывающими это явление. Причем, ни параметры, ни зависимости никоим образом не объясняют описываемого явления. Формула этого закона показывает зависимость силы F взаимного(?)  притяжения(?) двух тел массой M и m (например, солнца и планеты), находящихся на расстоянии r и имеет вид [2,3,4,5]:

F = GMm/r² (2)

где G - это гравитационная постоянная. В этой формуле целых четыре изменяющихся параметра (F, M, m, r) - получается сложная взаимосвязь. Ученые попытались исключить один параметр - массу m - и ввели «напряженность» гравитационного поля g, которая равна силе, с которой тело массой M на расстоянии r притягивает 1 кг массы [2,3,5]. Т.е.

g = GM/r² (3)

Последнее выражение будет проще формулы (2), но все равно довольно сложное. И каждая упомянутая в формуле величина требует своего объяснения. И если гравитационную постоянную G и массу (солнца) M еще можно принять то, что имеется в виду под r² необходимо выяснить детальнее. Как было сказано выше, r² явно указывает на площадь. Остается малость, выяснить на площадь чего -  круга или сферы?

Ньютон, исследуя вращение планет солнечной системы, под r² имел в виду площади отдельных участков в плоскости орбиты планеты [1]. В современных учебниках физики этот момент вообще не освещается [2,3,5], в Википедии говорится, что это участки поверхности сферы. Так все-таки, о какой площади идет речь в законе Ньютона? Разберем это на конкретном примере солнца и планет солнечной системы.

Итак, согласно принятым официальной наукой данным, есть солнце, вокруг которого вращаются планеты солнечной системы, которые притягиваются солнцем. Вращаются они, каждая по своей орбите. Об орбите можно сказать, что она - это плоский объект. Можно было бы сказать, что в формулах (2) и (3) под квадратом радиуса имеется в виду площадь участка орбиты планеты, как это и считал Ньютон. Но с другой стороны, сила притяжения солнцем действует во всех направлениях от его центра. Т.е. сила гравитационного притяжения солнца распространяется по всему пространству - выше и ниже плоскости орбит планет. Поэтому более правильным вариантом будет считать, что квадрат радиуса - это указание на площадь сферы радиуса r.

Тогда физический смысл напряженности гравитационного поля g - это напряженность гравитационного поля солнца в любой точке сферы, построенной на орбите радиуса r от центра солнца. (Здесь и далее для упрощения считаем, что орбиты планет это окружности радиуса r = a .) Т.е. напряженность g характеризует действие гравитации в любой точке сферы радиуса r гравитационного поля солнца или любого центрального объекта массой M, вокруг которого вращаются меньшие объекты.

Исходя из последней формулы (3), напряженность g любой точки сферы радиуса r - величина постоянная для данной сферы. С другой стороны, поскольку напряженность - это характеристика любой точки сферы радиуса r, то можно сказать, что g - это плотность распределения по поверхности сферы радиуса r вокруг объекта массой M некоего параметра П, назовем его «количество гравитации». Его величину определяем, пользуясь формулами (1) и (3), и получаем что

П = 4r²*g = 4r²*GM/r² = 4GM (4)

Как видно из формулы (4), общее количество гравитации П на поверхности сферы, построенной на орбите радиуса r гравитационного поля точечного объекта массой M, - величина постоянная для данного точечного объекта и не зависит от величины r.

Оказывается, полное количество гравитации П для любой сферы вокруг источника гравитационного поля совершенно не зависит от размеров этой сферы. И определяется это полное количество П только массой M объекта, которое создает поле гравитации на этом участке пространства, и гравитационной постоянной G. Размерность этого нового параметра П - количества гравитации будет непривычная - м³/сек².

Вот к каким неожиданным результатам приводит правильное толкование физического смысла мерила «радиус» для закона всемирного тяготения. Что-то в таком же роде будет действительным и для электромагнитного поля, потому что у него тоже есть параметр, который называется напряженностью. Хотя эту же величину для точечного заряда электромагнитного поля можно получить и из закона Кулона, но это тема отдельного исследования. А мы продолжим рассмотрение гравитационного поля и его параметров.

Факт, что радиус r в законе всемирного тяготения - это параметр поверхности сферы радиуса r, позволил по-новому взглянуть на физический смысл напряженности гравитационного поля g. Он помог найти количество гравитации П для системы вращающихся объектов. Но это еще не все. Дело в том, что у напряженности g примечательна ее размерность - м/сек² - это размерность ускорения. Возникает резонный вопрос - а ускорение чего показывает напряженность гравитационного поля? Рассмотрим этот вопрос снова на примере солнечной системы.

Для каждой из планет солнечной системы можно определить напряженность гравитационного поля g солнца на ее орбите. Принимаем, что напряженность g, исходя из ее размерности, - это орбитальное ускорение планеты. В таком случае получаем условия простенькой задачи:

- для планеты известна напряженность g, т.е. орбитальное ускорение и известно время Т - период ее обращения вокруг солнца. Этих данных вполне достаточно чтобы определить орбитальную скорость v планеты. Достаточно ускорение умножить на время.

При этом надо учесть, что орбита - это окружность (или почти окружность). Поэтому в простенькую формулу, к радиусу r, надо ввести поправку 2, которая учитывает, что r - это элемент длины окружности или длины орбиты, а не радиальной составляющей орбиты. Тогда получаем формулу определения орбитальной скорости v через напряженность g гравитационного поля центрального объекта массой M:

v = g * T / 2 или v = TGM / 2r² (5)