На рис.7 тонкой линией изображен стержень длиной L, площадью сечения S и плотностью p. Сожмем стержень силой F на величину dL. Сжатый стержень показан основной линией. Посечем его мысленно, как колбасу, на тонкие пластинки и представим, что с ними будет происходить после снятия нагрузки. Крайняя правая, получив свободу, расправится. Чуть позже расправится и её соседка. Позже потому, что ей придется двигать соседку справа, а та будет сопротивляться инерцией. Последней расправиться та, что находится у стены, и стержень вернет начальную форму.

Происходящее можно представить так, как будто по стержню, справа налево, прошла полоса, в которой мысленно выделенные пластинки возвращались к прежней форме. В дальнейшем будем эту полосу называть возмущенной зоной или волной.

Примечание: процесс обратим - при надавливании на стержень все произойдет, как бы, в зеркальном отражении.

Если знать время осуществления процесса восстановления и расстояние, на котором это происходит, то можно говорить о скорости восстановления или о скорости прохождения волны:

V = L / t (3), где t - время. Его определим исходя из того, что известны зависимости деформации стержня от нагрузки (закон Гука) и связь силы с ускорением и массой (второй закон Ньютона). Вот эти зависимости:

dL = F•L / S•E(4), a = F / S•L•p (5).

Здесь Е [Па] - модуль продольной упругости, а - ускорение центра тяжести (ЦТ) стержня под действием силы F.

Связь времени, ускорения и пути для ЦТ выразится формулой dL / 2 = a•t² / 2 (6).

Заменим в формуле (6) ускорение на взятое из формулы (5), приравняем полученное выражение dL к представленному в формуле (4), и выведем формулу времени

(7).

Подставив формулу (7) в (3), получим искомую формулу распространения скорости возмущения в упругих телах

(8).

Вот как рассуждал Ньютон при вычислении скорости звука в воздухе [2]:

На рис.8 изображена труба площадью сечения S, наполненная газом с давлением Р и плотностью p, со вставленным безинерционным поршнем. Будем давить на поршень в течении времени dt до приобретения им скорости dV. Инерция сожмет тонкий слой среды перед поршнем, её параметры можно выразить как p+dp и P+dP. Перемещающийся фронт, разделяющий сжатую и нормальную области, назовем волной сжатия. Скорость его перемещения относительно трубы, являющуюся собственно скоростью перемещения слабого возмущения, обозначим через С.


Рис. 8

За время нажатия на поршень фронт переместится на расстояние C•dt. Масса газа, оказавшаяся между фронтом и поршнем, может быть определена двумя способами:

1) через параметры исходного состояния

dM = C•dt•S•p;

2) через параметры сжатой зоны

dM = (C - dV)•dt•S•(p + dp).

Из этих уравнений составим следующее:

C•p = (C - dV)•(p + dp) (9).

Здесь, кроме искомой неизвестной С, неизвестна скорость dV.

Исходя из того, что dt и dV - величины, стремящиеся к нулю, для определения dV воспользуемся законом сохранения импульса - F•t = m•V. Преобразуем формулу для нашего случая:

S•dP•dt = C•dt•S•p•dV, откуда dV = dP / C•p.

Подставим полученное выражение скорости в формулу (9) и получим

.

Считаем процесс изотермическим (проходящим без изменения температуры), тогда

.

Пренебрегаем составляющей dP/p и получаем формулу Ньютона:

(10).

Формула (10) отличается от формулы (8) символом в числителе. Но так ли отличаются вложенные в символы понятия, как сами символы?

Модуль продольной упругости Е имеет размерность давления - Паскаль (Н/м²). Можно утверждать, что указываемое в справочниках значение упругости - это давление, приложение которого к торцу цилиндра может увеличить его длину вдвое.

Так же, вдвое, изменится объём газа в цилиндре, если поршень нагрузить избыточным давлением равным внутреннему. Получается, что давление и упругость характеризуют одно и тоже свойство материи, поэтому формулы (8) и (10) можно было заменить универсальной. Но этому помешала более существенная причина, чем привычка к знакомым символам и понятиям.

У стали модуль упругости и плотность слабо зависят от вида её термообработки и легирования, можно принять Е = 2,1х10¹¹Па, p = 7830 кг/м³. Тогда расчетная скорость будет 5180 м/с. Она хорошо согласуется с замерами скорости звука в сталях. Со звуком в воздухе вышла промашка. Реальная скорость превышала расчетную на 20%. Пришлось ввести поправочный коэффициент.

Теперь сравним вычисленную скорость звука в сталях, составляющую немногим более пяти километров в секунду, с измеренной скоростью света в воздухе - триста тысяч. Представить вещество с упругостью, превышающей упругость стали в 57000 раз, воображения не хватает, поэтому использование модели теряет смысл.


Рис. 9

Есть в модели звуковых волн с использованием упругости среды фактор, не позволяющий использовать упругие волны для передачи информации. Представим конструкцию из шариков и пружинок, как изображена на рис.9.

Надавим на крайний правый шарик и до того, как заметно начнет перемещаться вслед за ним второй, отпустим - момент времени t+dt. Сжатая пружина восстановит свою длину и раздвинет шарики. При этом сожмется следующая пружина - t+2dt. В следующее мгновение (t+3dt), будет наблюдаться одна сжатая пружина, и одна растянутая. Растянуться крайнею пружину заставит инерция шарика. В классической физике волны в упругих средах принято изображать синусоидой с положительной и отрицательной полуволной плотности (внутреннего давления). Классическую картину образования и распространения звука в виде волн сжатия и разряжения разрушают последующие моменты (t+4dt), когда мы увидим не одну, а несколько сжатых и растянутых пружин. Процесс выйдет из под контроля, и в конструкции возникнут собственные упругие колебания, которые могу просуществовать сколь угодно долго, их ни что не будет отличать от создаваемых нами. Представьте, что Вы пытаетесь азбукой Морзе, стуча ногой, обутой в валенок, или резиновым молотком по огромному колоколу, передать информации другу, находящемуся по другую сторону.

Воздух не преподносит нам подобного сюрприза потому, что природа звуковой волны не имеет ничего общего с упругостью. Более того, колебаться давлению в газах запрещает термодинамика.

Рассмотрим звук в идеальном газе. Частицу идеального газа считаем абсолютно упругой, масса которой сосредоточена в центральной точке, поэтому моментом инерции пренебрегаем. Этим требованиям удовлетворяют атомы инертного газа. Единственное их занятие - толкаться друг с другом, не позволяя одним иметь "жизненное пространство" больше, чем у других. Так как кроме ударов ничего не происходит, рассмотрим две особенности, с ними связанные:


Рис. 10

1) Движущийся шар в момент времени t₁ сталкивается с таким же неподвижным (рис.10). Первый деформируется сам и деформирует второго, на некоторое время они как бы слипаются и движутся вместе - момент t₂. При этом половина кинетической энергии переходит в потенциальную - сжатие. Скорость слипшихся шаров равна половине первого. Силы упругости расталкивают шары и, в итоге, первый, заняв место второго, останавливается, а второй начинает двигаться с начальной скоростью первого - момент времени t₃.

Примечание: указанное распределение энергии и скоростей единственно возможное. В момент t₂

E_o = E_k + E_p

E_o = mV₁²/2

E_k = 2mV₂²/2

E_p = 2m(V₁ + V₂)²/2

0.5V₁² = V₂² + V₁² - 2V₁V₂ + V

V₂² - V₁V₂ + 0.25V₁² = 0

(V₂ - 0.5V₁)² = 0; V₂ = 0.5V₁

2) Если удар не центральный, то оба шара после удара будут перемещаться.


Рис. 11

Из подчиненности их движений основному закону, упустив массы, можно составить следующее уравнение:

V₀² = V₁² + V₂²,

где V₀ - скорость первого шара до столкновения, V₁ и V₂ - cсоответственно после (см. рис.11). Формула копирует формулу Пифагора о соотношении сторон в прямоугольном треугольнике: c² = a² + b². Из этого следует, что векторы скоростей всегда находятся под прямым углом друг к другу и вписываются в окружность, диаметр которой равен начальной скорости первого шара.

Приведенные закономерности позволяют сделать следующие прогнозы:

Если много шаров выставить в ряд, как показано на рис.12, а затем два крайних (изображены тонкой линией и обозначены цифрами 1 и 2) поочередно толкнуть в направлении остальных, то дальнейшее можно описывать по-разному, например:

- в каждом столкновении новые шары примут движение, как эстафету и будут делать это с тем же усердием, что первопроходцы;

- они прокатятся через остальные, как бы не обращая на их присутствие внимания;

- будет перемещаться кинетическая энергия.


Рис. 12

Если на столе произвольно расположить множество шаров, а затем один из них толкнуть (показано стрелкой), то после первого, последующие одновременные удары будут происходить в точках, принадлежащих окружностям, которые будут включать точку первого соударения. В момент времени t₁ столкновения шаров возможно только в малой окружности, в момент t₃ - большой. Примечание: t₃ > t₁.

Что в этих примерах общее? То, что появляются зоны, в которых шары двигаются, что ширина зон зависит от количества изначально приведенных в движение шаров и не изменяется.

Для восприятия последующих явлений, нужно хорошо представлять вышеизложенное. Если Ваше воображение еще не напрягалось, то оно легко представит процесс передачи кинетической энергии от шара к шару, её перемещение, когда все шары находятся в постоянном хаотическом движении. Ведь всегда ситуацию, возникающую в отношениях шаров, можно рассматривать с позиции одного из них, считая его покоящимся. В математике это называют введением подвижных координат.

Как в идеальном газе представляется образование волны возмущения или звуковой волны?


Рис. 13

Выделим мысленно некоторый объем газа, находящийся около подвижной стенки, принадлежащей, например, вилке камертона. Атомы хоть и летают, но расположены равномерно, плотность однородна. Атомам безразлично, с чем приходится сталкиваться - с летящими навстречу коллегами или неподвижной стенкой, от которой они отлетят с той же скоростью, что подлетели. Другое дело, если стенка движется…

Пусть она вторгается в выделенный нами объём. Тогда столкнувшиеся с ней атомы полетят обратно с большей скоростью. Новая скорость представится векторной суммой скорости атома при отражении от неподвижной стенки и скорости стенки. Все отраженные во время движения стенки атомы получают дополнительную скорость, направленную в сторону её перемещения.

Если отвлечься от броуновского движения, счесть атомы неподвижными, а это сделать позволяет то, что сумма векторов скорости всех атомов в отдельности невозбужденного газа за малый период равна нулю, если все удары счесть центральными, тогда рассматриваемая ситуация уподобится изображенной на рис.10. Собственная подвижность атомов внесет отличие:

- во-первых, атомы газа проявят со своей стороны инициативу и займут места, покинутые возбужденными атомами;

- во-вторых, скорость передачи кинетической энергии будет на порядок выше скорости возбуждения - скорости стенки, и давление газа перед стенкой не увеличится.

Теперь представим развитие событий с отходящей стенкой: Отразившиеся от стенки атомы (назовем их первым эшелоном) будут обладать меньшей скоростью, значит и энергией, чем соседи. Назовем их дефектными. Соседи передадут им свое энергетическое превосходство (именно передадут, а не поделятся). Первый эшелон окажется восстановленным, второй - дефектным. На этом этапе процесс начинает принципиально отличаться от того, что происходил с наездом стенки. Если при наезде кинетическая энергия, получаемая от стенки, передавалась всегда однонаправлено, то при отходе - нет! Второй, дефектный эшелон оказывается между превосходящими его обладателями энергии, и те (третий и первый) будут вынуждены делиться ею. Делиться, а не передавать полностью, как это произошло у второго эшелона с первым, потому что атомы в отдельности так и поступят, но их вдвое больше, чем дефектных.

Если отвлечься от атомов, а смотреть только на прохождение энергии, то отрицательная энергия, покинув стенку, расщепляется - одна часть продолжает наступать, другая разворачивается на тылы. Чем больше тыл, тем меньше авангард. Процесс передачи отрицательной энергии не ограничивается пространственно полосой, а происходит во всем охваченном объёме. Данной утверждение полностью согласуется со вторым началом термодинамики.

Образно ситуация с наездом и отходом стенки в газе похожа на ту, которая возможна на дискотеке. Представьте, что на танцоров начинает падать стоящий у стенки шкаф. Находящиеся рядом бросятся в глубину и собьют ближайших соседей с ног. Возникнет эффект домино. Волна падений или резких отскоков прокатится по всей площадке. Именно волна, так как упавшие встанут и продолжат танцевать. А что будет, если для удобства отдыхающих во время танца шкаф вынести? Первыми это заметят танцующие рядом и переместятся так, что бы сравнять расстояния до стенки и соседей. Равноудаленности, произвольно, вслед за ними начнут придерживаться соседи и приблизятся к первым, чем вынудят их опять сделать шаг в сторону стенки. Это будет продолжаться с вовлечением все большего количества танцующих и до тех пор, пока расстояния между всеми не сравняются. Ни какого сходства с волной!

Что изменится в развитии процесса, если считать удары не центральными? Только то, что фронт будет представлять собой растущую сферу. Пропорционально её площади (квадрату радиуса) будет увеличиваться масса атомов, вовлекаемая в передачу кинетической энергии. Увеличение массы приведет к уменьшению скорости возмущения, ведь количество энергии сохраняется. Данное предположение соответствует действительному убыванию мощности звуковой волны пропорционально квадрату расстояния.

Волне возмущения или звука в идеальном газе можно дать следующее определение:

Волна возмущения - это зона, в которой атомы, помимо броуновского движения, приобретают дополнительное, направленное в сторону распространения возмущения. Дополнительная кинетическая энергия передается от атома к атому при столкновениях, поэтому на фронте происходит вовлечение новых атомов в процесс, а в тылу волны атомы остаются с теми параметрами, которыми обладали до её прихода. Количественное равенство вовлекаемых в процесс и выбывших из него атомов позволяет зоне длительное время сохранять глубину.

Что произойдет, если в волне окажется предмет, превосходящий размерами и массой атомы, например, мембрана микрофона. Волна окажет на мембрану большее давление, чем не возбужденный газ, так как ее атомы имеют дополнительную скорость. Зависимость давления от скорости броуновского движения выражается следующей формулой:

P = 0.5 p•V², где p - плотность газа, V² - средний квадрат скорости. В волне атомы имеют не

просто дополнительную броуновскую скорость, а конкретно направленную. Поэтому

изменения давления можно выразить формулой, соответствующей закону Бернулли

,

где V_e - скорость возмущения, α - угол между вектором скорости и нормалью к поверхности. Зависимость давления от угла понуждает животных шевелить ушами.

Что произойдет при встрече двух волн, например, прямой и отраженной? Направленные скорости возмущений рассеются, в зоне столкновения возрастет скорость броуновского движения, поднимется давление. Возникшее давление заставит атомы рассредоточиться, то есть, придаст им направленное движение, которое породит новые волны, такие же, что вызвали рост давления. Это можно воспринять, как прохождение одной волны через другую без последствий для обоих. Человеку в зоне столкновения волн не надо крутить головой или наращивать ладошками уши, чтобы лучше слышать. Сила звука в этом месте не зависит от размера и формы ушных раковин.